1.4 ma

Szereg 1 – 2 + 3 – 4 + ... – nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma



m


{\displaystyle m}

-tą sumę częściową tego szeregu wyrazić wzorem:





∑

n
=
1


m


n
(
−
1

)

n
−
1


.


{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}


Szereg ten jest rozbieżny, tzn. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych, tj. nie istnieje granica ciągu




1
−
2
+
3
−
4
+
…


{\displaystyle 1-2+3-4+\ldots }


Mimo to, w połowie XVIII wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym:




1
−
2
+
3
−
4
+
…
=


1
4


.


{\displaystyle 1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4}}.}


Ścisłe objaśnienie tego równania pojawiło się jednak znacznie później. Dopiero po 1890 roku Ernesto Cesàro, Émile Borel i inni badali ściśle określone metody przypisywania uogólnionych sum szeregom rozbieżnym – w tym obejmujące nowe interpretacje prób Eulera. Mimo wszystko wiele tych metod łatwo przypisuje szeregowi



1
−
2
+
3
−
4
+
…


{\displaystyle 1-2+3-4+\ldots }

„sumę”






1
4



.


{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}.}

Sumowalność metodą Cesàro jest jedną z kilku metod, które nie definiują sumy dla szeregu



1
−
2
+
3
−
4
+
…


{\displaystyle 1-2+3-4+\ldots }

tak, że szereg jest przykładem wymagającym metody nieco silniejszej, takiej jak sumowalność metodą Abela.
Szereg



1
−
2
+
3
−
4
+
…


{\displaystyle 1-2+3-4+\ldots }

jest blisko związany z szeregiem Grandiego



1
−
1
+
1
−
1
+
…


{\displaystyle 1-1+1-1+\ldots }

Euler omawiał je jako specjalne przypadki



1
−

2

n


+

3

n


−

4

n


+
…


{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-4^{n}+\ldots }

dla dowolnego



n
.


{\displaystyle n.}

Ten kierunek badań rozszerzył jego prace na problem bazylejski, wiodąc ku równaniom funkcyjnym, których rozwiązania dziś znane są jako funkcja „eta” Dirichleta oraz funkcja „dzeta” Riemanna.

View More On Wikipedia.org