domknięcie

Domknięcie przechodnie relacji dwuargumentowej



R


{\displaystyle R}

na zbiorze



X


{\displaystyle X}

jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) relacja przechodnia




R

+




{\displaystyle R^{+}}

na zbiorze



X
,


{\displaystyle X,}

która zawiera



R
.


{\displaystyle R.}


Dla każdej relacji istnieje jej domknięcie przechodnie. Dla dowodu wystarczy zauważyć, że iloczyn dowolnej rodziny relacji przechodnich jest relacją przechodnią. Ponadto dla każdej relacji na zbiorze



X


{\displaystyle X}

istnieje co najmniej jedna relacja przechodnia ją zawierająca – mianowicie



X
×
X
.


{\displaystyle X\times X.}

Wobec tego domknięcie przechodnie relacji można określić jako iloczyn wszystkich relacji przechodnich na



X


{\displaystyle X}

ją zawierających.

View More On Wikipedia.org